Serge Galam nous initie aux systèmes magnétiques, appelés verres de spins, à partir desquels il construit ses modèles de sociophysique.
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Ce sont des substances qui n’arrivent pas à trouver un équilibre stable dans leur organisation collective. Composées d’interactions contradictoires elles possèdent des propriétés remarquables fort complexes. Et justement, leur archétype est une configuration triangulaire de moments magnétiques à interactions dites antiferromagnétiques.
Ce qui veut dire que pour chaque paire de moments magnétiques en interaction, le principe de minimisation de l’énergie les pousse à s’aligner dans des directions antiparallèles. On peut représenter un moment magnétique par une simple flèche pointant soit vers le haut soit vers le bas. Ainsi pour une paire de moments, on peut avoir deux configurations possibles, soit haut-bas, soit bas-haut comme indiqué sur la Figure 1. Ces états sont stables et équivalents. On dit qu’ils sont identiques par inversion du temps.
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Figure 1 : interaction antiferromagnétique produit un alignement opposé.
Une interaction dite ferromagnétique tend à aligner les moments magnétiques dans la même direction pour minimiser l’énergie de la paire. Les deux configurations stables et équivalentes comme dans la Figure 2 :
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Figure 2 : interaction ferromagnétique produit un alignement parallèle.
En revanche, pour un triplet de moments A, B, C, où chacun interagit avec les deux autres de façon antiferromagnétique, il devient impossible de minimiser simultanément les trois paires d’interactions. En effet, dès que deux des moments, par exemple A et B se sont anti-alignés, le troisième C ne trouve plus de situation satisfaisante car il voudrait à la fois être anti-aligné aux deux autres, ce qui est impossible. La Figure 3 montre bien que si C choisit une orientation vers le haut, il se retrouve anti-aligné avec B, mais aligné avec le moment A, ce qui maximise son énergie.
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Figure 3 : triangle infernal à interaction antiferromagnétique produit une frustration dynamique. Les flèches en pointillés indiquent un alignement frustré pour A et C.
Dans cette configuration, A et C ne sont pas satisfaits car ils minimisent seulement une de leur deux interactions, celle d’avec B. En revanche, B est au meilleur de son énergie, anti-aligné à la fois à A et C.
Mais alors, pour chercher une configuration plus satisfaisante, soit A, soit B, soit les deux vont changer d’orientation. Disons que A passe vers le bas (Figure 4), alors le couple A – C est au mieux à la place du couple A – B qui l’était auparavant. Du coup, c’est le moment C qui est maintenant au mieux de ses interactions. Et ainsi de suite, il va toujours y avoir deux moments insatisfaits, créant une instabilité permanente avec une dynamique infernale qui n’arrive pas à trouver de stabilité. En physique, on dit d’un tel trio qu’il est frustré avec un niveau fondamental dégénéré.
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Figure 4 : triangle infernal à interaction antiferromagnétique produit une frustration dynamique. Les flèches en pointillés indiquent un alignement frustré pour A et B.
Cependant, dans le cas d’interactions toutes ferromagnétiques, qui induisent un alignement parallèle des moments pour minimiser leur énergie, il existe un état stable pour un triangle. Il correspond aux trois moments alignés, soit vers le haut comme indiqué sur la Figure 6, soit vers le bas. Toutes les paires d’interactions sont satisfaites.
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Figure 5 : triangle vertueux à interaction ferromagnétique produit un état stable de satisfaction généralisée.
Évidemment la nature comme les sociétés humaine, est souvent mixte avec un mélange d’interactions ferromagnétiques et antiferromagnétiques, qui parfois autoriseront un état stable satisfaisant les « penchants » de chacun, et parfois non, créant des cycles infinies de frustrations cycliques, comme illustrés dans respectivement les Figures 7 et 8.
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Figure 6 : triangle vertueux bien qu’à interactions mixtes antiferromagnétiques et ferromagnétique, produit un état stable de satisfaction généralisée.
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